人工智能的能力已经足够惊人。
它可以对话、写作、编程、生成方案，甚至帮助人类处理复杂科研问题。但与此同时，对于复杂模型为什么在具体情境中给出某个判断、某个答案，以及它何时可靠、何时可能失效，我们仍很难做到充分、稳定、可验证的解释。
这在学术和产业讨论中，常被放在“黑箱”问题的框架下理解——我们能看到它给出的结果，也大致知道模型如何训练和运行，但仍很难完全说清楚，它在某一次具体判断中究竟依据了什么。
这听起来不可思议，但历史总是惊人的相似。
微积分从诞生到建立严格理论基础，也曾经历过一段类似的“黑箱”时期。
本文基于北航计算机学院栾钟治教授在“YOUAI有光 · 智启新程”活动中的内部分享整理，从微积分发展史出发，理解当下AI技术所处的位置，以及它对今天教育实践带来的三点重要启示。
01
微积分的基础危机：被嘲笑的“幽灵”
17世纪，牛顿与莱布尼茨分别独立创立微积分。
这一工具很快在物理学、天文学、工程学等领域展现出惊人的威力，成为推动近代科学发展的关键工具之一。
然而，微积分在诞生之初，理论地基并不牢固。
它的核心概念“无穷小量”，在逻辑上曾长期存在一个让人困惑的问题。用今天更容易理解的教学语言来说，在导数计算中，Δx一开始似乎被当作非零量参与运算，但到了最终步骤，又需要趋近于零，甚至被“消掉”。
于是，一个问题出现了：
Δx到底是零，还是不是零？
如果它不是零，为什么最后可以被消掉？
如果它是零，为什么一开始又可以参与计算？
英国主教、哲学家贝克莱曾在《分析家，或致一位不信神数学家的论文》中，对这一问题发起尖锐抨击。
他讽刺数学家们以“精确性”自居，却无法真正回答“无穷小量到底是什么”。他将这些无穷小量称为“消逝量的幽灵”。
这一批评直指微积分早期理论基础中的模糊之处，也成为数学史上关于微积分基础危机的重要讨论。
它提醒我们：
一个工具即便非常有用，也不意味着它从一开始就拥有完全清晰、完全坚实的理论基础。
02
18世纪的选择与19世纪的奠基
面对质疑，牛顿与莱布尼茨并没有在当时给出彻底令人满意的回应。
但微积分并没有因此被束之高阁，因为它实在太好用了。
法国数学家达朗贝尔有一句常被引用的话：
“向前进，信念自然会到来。”
这句话背后，其实是一种非常务实的技术发展逻辑：
当一个工具已经展现出显著价值时，人类往往不会等到它的理论基础完全成熟之后才开始使用，而是在使用中继续推动理解，在实践中不断补足基础。
于是，在某种意义上，18世纪可以被看作分析大发展的时代。尽管理论基础仍有争议，微积分依然在力学、天文学、工程学等领域广泛应用，并推动近代科学与工程技术快速发展。
但这并不意味着基础问题不重要。
当微积分的应用越来越广，影响越来越深，人们最终必须回到那个根本问题：它到底为什么成立？
进入19世纪，随着分析学应用边界的拓展，基础不够严格的问题变得越来越难以回避。数学家们开始意识到，如果没有更加清晰的定义和证明体系，微积分很难真正成为现代数学的坚实基础。
以柯西、波尔查诺、魏尔斯特拉斯等人为代表的数学家，逐步推动分析学严格化，重新为微积分奠定更加坚实的理论基础。其中，魏尔斯特拉斯系统发展了后来广为人知的 ε-δ语言，对“极限”给出了更加严格的形式化描述：
对于任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，|f(x) - L| < ε。
这一形式化语言的意义在于，它不再主要依赖模糊的“无穷小”直觉，而是用严密的数学语言描述“趋近”的过程。
至此，微积分逐渐摆脱了早期基础中的模糊性，建立在更加严格的分析基础之上。
从贝克莱的质疑，到魏尔斯特拉斯时代的严格化，人类大约走了一百多年。
03
历史对AI演进的启示：等待“魏尔斯特拉斯时刻”
微积分的发展历程，为理解当前人工智能的处境，提供了一个非常有启发性的参照系。
技术可以在理论不完善时创造巨大价值
正如18世纪的微积分，当前的大语言模型虽然仍存在“黑箱”问题，理论基础和可解释性尚未完全确立，但它在自然语言处理、代码生成、信息整理、知识问答、方案生成等领域，已经展现出不可忽视的生产力。
也就是说，理论不完备，并不意味着技术不能产生价值。
AI已经在改变现实——这一点无法回避。
长期发展必须依赖坚实的理论基础
微积分之所以能够成为现代科学的基础工具之一，不只是因为它好用，更因为后来的人不断为它补上理论地基。
如果没有柯西、魏尔斯特拉斯等人的奠基，微积分很可能会长期停留在一种“好用但说不清”的状态。
AI也是如此。
如果人工智能长期停留在难以解释、难以验证、边界不清的“黑箱”状态，它的可信性、可验证性和可控性，都会受到根本制约。
尤其当AI进入更关键的领域，比如医疗、教育、科研、法律与公共决策时，人类必须进一步追问：
它为什么这样判断？
它的结果如何验证？
它的边界在哪里？
它出错之后，责任由谁承担？
从这个意义上说：
今天的AI行业
也正在等待属于自己的
“魏尔斯特拉斯时刻”
在理论未牢固前，技术应用需明确边界
18世纪的微积分虽然基础尚不完美，但它主要被用于自然科学、工程、天文、力学等领域，用来描述和解决大量外部世界中的问题。
而对于今天的AI而言，它正在迅速进入人的生活，甚至进入一些直接关系人的成长、健康与命运的关键场景。
这就要求我们必须更加审慎：越是关键的领域，越不能轻易把最终判断权完全交给模型。
医疗诊断如此，教育决策也是如此。
因为教育面对的不是一组数据，也不是一个标准化任务，而是一个个正在成长中的孩子。它涉及知识学习，也涉及思维、能力、关系、心理状态与价值判断。
04
技术可以向前，但教育必须保持清醒
很多重要技术的发展，常常会经历这样一个阶段：它已经足够强大，强大到改变现实；但它又尚未足够透明，透明到让人完全放心。
微积分曾经在某种意义上如此，今天的AI也有相似的一面。二者当然不能简单等同，但它们共同提醒我们：当一种工具已经足够有用，却尚未被充分解释和约束时，越需要清醒地理解它的边界。
而对教育而言，这恰恰是最值得警醒的地方。
我们当然不能因为AI尚未完全可解释，就拒绝它、远离它。就像18世纪的人类没有因为微积分基础尚不完美，就放弃用它理解运动、天体和工程世界一样，今天的孩子，大概率会在一个被AI深度参与的世界中成长。
但我们同样不能因为AI足够好用，就把判断权、选择权和价值边界轻易交给它。
AI可以提供答案，但人要负责判断
AI可以帮助孩子更高效地接触知识、拓展视野、提升效率，甚至进入过去难以抵达的科学问题深处。
但教育真正要守住的，是让孩子知道：
什么时候可以借助工具，什么时候必须回到自己的判断；
什么问题可以交给AI辅助处理，什么问题必须由人来承担责任；
什么答案看起来很正确，但未必真正可靠。
这也是有光一直投身建设的教育方向。
技术越强，教育越不能只停留在“学会使用工具”这一层。我们更应该帮助孩子建立面对复杂世界的底层能力：提问的能力、验证的能力、判断的能力、辨别边界的能力，以及在不确定中做出选择的能力。
因为未来真正重要的，不是孩子能不能比AI更快给出答案，而是当AI给出答案、建议与方案时，他是否知道该如何验证、如何选择、如何负责。
05
AI时代，教育更要回到人的成长
AI时代，教育不只是把孩子培养成更会使用机器的人，而是帮助他们在机器越来越强大的时代，更清楚地成为一个有判断、有温度、有责任感的人。
这或许正是“等待魏尔斯特拉斯时刻”带给教育的启示：我们可以向前进，但不能失去清醒；我们可以拥抱技术，但不能放弃人的判断。
我们可以借助AI抵达更远的地方，但教育始终要帮助孩子知道，自己为什么出发，又要走向哪里。
下一篇预告：
在下一篇文章中，我们会继续沿着这场分享的思路，讨论一个更贴近孩子成长的问题：
当AI擅长处理高维复杂信息时，人类真正不可替代的能力是什么？
为什么说，AI负责“升维”，而教育要帮助孩子学会“降维”？
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